Fritz Klimsch studierte ab 1886 an der Hochschule für bildende Künste in Berlin bei Albert Wolff und Fritz Schaper. 1898 war er Mitbegründer der Berliner Sezession, 1909/10 wurde ihm der Professorentitel verliehen.
Zunächst war Klimsch ein Vertreter des Jugendstils, deutlich in den Skulpturen »Tänzerin« (1898) in der Berliner Nationalgalerie oder »Salome« (1901). Seit 1900 schuf er auch etliche Grabmäler im Stil attischer Grabstelen.
Bekannt wurde Klimsch durch sein zwischen 1906 und 1910 entstandenes Virchow-Denkmal auf dem Karlplatz vor der Charité, das eine neue Denkmals-Konzeption vorführte. Es wird bekrönt von der symbolischen Figurengruppe eines Titanen, der die Sphinx bezwingt. Virchow selbst ist als Bildnisrelief am Sockel zu sehen. Mit seinem Denkmal des Chemikers Emil Fischer für die Friedrich-Wilhelms-Universität (1921) griff Klimsch aber wieder auf den Typus des Personendenkmals zurück.
Im Dritten Reich war der Bildhauer mit seinen weiblichen Akten erfolgreich, die dem nationalsozialistischen Frauenbild entsprachen. Klimsch erhielt zahlreiche Aufträge, auch von staatlicher Seite.